Problemas de funciones exponenciales

Aplicación de Exponencial Logaritmica
y
Problemas de Aplicación de la Función Exponencial Logaritmica
y
1. Después la televisión introdujo cierto país, la proporción de jefes de familia
que se en
poseían televisor después estaba dado la fórmula:
que t años se encontro que por
T=1-e0
Encuentre el crecimientoT t=3 t=6. 19
entre y
2. La población de cierta isla función del tiempo está dado
como t se encuentra que por
la fórmula:
20000
+6-2
Hallar el incremento entre t=l0 t=20. R/3000
y
3. El W (en kg) de población de elefantes africanos hembras está relacionado
peso una
la edad mediante:
con t (t en años)
Wt)=2600(1-05e-0075 3
a) Cuánto elefante recien nacido? R/325 kg.
pesa un
b)Suponiendo la hembra adulta 1800 kg estime edad? R/20 años
que pesa su
aproximadamente.
4. En 1980 la población de los Estados Unidos aproximadamente 227 millonesy
era
ha ido creciendo razón de 0.7% La población N(0), más tarde,
a una por año, t años
se podria aproxıimar mediante
227-T
N)
=
a) Si continuara este patrón de crecimiento., įcuál será la población de Estados
Unidos el año 2000? R/261 millones
para aprox.
b) el año 20072 millones
-y R/274
aprox.
5. En laboratorio de Biotecnología tiene cultivo de bacterias fermentador
un se un en un
durante 4 horas. La población de bacterias rápidamente el del tiempo.
crece con paso
La función relaciona la cantidad de bacterias el tiempo transcurrido horas
que y t en
es.
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Ct)=0,025-
Determine incrementa la población desde t=1 hasta t=3 horas. R/202.51
en cuanto se
aprox.
6. Una centena de ciervos, cada de 1 de edad, introducen de
uno año se en un coto caza.
El número N() de los aún queden vivos después de años predice
que t se que es
Nt) 100 09
=
Estime el número de animales vivos después de:
a) l año R/90.
b) 5 años R/59.
c) 10 años RI35.
7. Un medicamento elimina del organismo través de la orina. La dosis inicial de
se a es
10 mg la cantidad el horas después está dada A[t) 10-0,8.
y en cuerpo t por =
a) Calcule la cantidad del fárnmaco restante el organismo 8 horas después de la
en
ingestión inicial. R/1.68
mg.
b) Qué porcentaje del medicamento está aún el organismo elimina cada
que en se
hora? R/20.
8. Un medicamento elimina del través de la orina. La dosis inicial de
se cuerp0 a es
10 la cantidad A(t) queda el horas después está dada
mg y que en cuerpo t por
At) 10-0,8. Para que el fármaco haga efecto debe haber en el lo
= cuerpo por
menos 2 mg.
a) Determine cuándo quedan sólo 2 R/7 horas
mg. aprox.
b) Cuál la semivida (o vida media) del medicamento. R/3 horas
es aprox.
9. El número de bacterias de cierto cultivo incremento de 600 1800 las 7 las 9
a entre y
Suponiendo el crecimiento exponencial las horas después
am. que es y t representa
de las 7 El número f(t) de bacterias dado por la fórmula ft) 600-3
am. esta
=
a) Calcule el número de bacterias el cultivo las 8; las 10; las II
en a a y a am.
R/1039, 3118 5400.
y
b) Trace la gráfica de f desde t-0 hasta t=4.
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10. Un problema importante de oceanografía consiste determinar la cantidad de luz
en
pucde varias profundidades oceánicas. La Ley de Beer Lambert
que penetrar a es-
tablece debe utilizar una función exponencial I, tal I{o) lo ,
que se que = para
modelar este fenómeno. Suponiendo
que
Ir) 10-0,
=
la energía lumínica equivalente (en cal llega a una profundidad de
es que x
Cm*
metros.
):Qué energía tiene profundidad de 2 m? R/1,6.
se a una
b) Trace la gráfica de I, desde x=t0ax=5.
I1. Una función exponencial W tal W(t) = Wye (para k> 0) describe el primer
que
de crecimiento de cultivos maíz, algodón La función W el
mes como y soya. es peso
total miligramos, Wg el del día del brote emergencia el tiempo
en es peso o y t es en
dias.
a) Si, tipo de k=0.2 W% 68, calcule el final al de haber
para un soya y = peso mes
brotado (t=30). R/27 433,16mg.
b) A menudo díficil medir el Wo, de la planta cuando acaba de
es peso emerger
del suelo. Si para una planta de algodón, k=0,21 W(10=575 Calcule Wg.
y mg.
R/70,41mg.
12. En 1980 1la población estimada de la India de 651 millones ha estado crecien-
era y
do de alrededor del 2% anual. La población N(), más tarde, puede
a una tasa t años
aproximarse mediante N(t) 6ö1e, Suponiendo esta tasa alta de crecimien-
= que
to continúa, caleule la población de la India el 2000 2006. R971 1095
en año y y
millones.
13. La población N{t) de la India (en millones) t años después de 1980 puede aproxi-
N(t) =651eCuándo será de mil milones? RIen 21
marse por
anos.
14. En la ciencia de la «cohorte» al conjunto de resulta
pesca se conoce como peces que
de una reproducción anual. Normalmente se supone que el número N(t) que sigue
vivo cuando han pasado t años, está dado función exponencial. Para el
por una pez
hipogloso del Pacíñico, N(t) Ng e, la Ng el tamaño inicial del
= en que es
cohorte. Si el tamaño inicial de 20, cuántos viven después de 10 años? R/24
es
peces.
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15. El trazador (o marcador) radiactivo °Cr puede localizar la posición de
usarse para
la placenta de una mujer embarazada. A menudo se debe pedir esta sustancia a un
laboratorio médico. Si se envian Ag unidades (en microcuries), entonces, debido al
decrecimiento radiactivo, el número de unidades A() quedan después de días
que t
e-,0249
está dado A(t) Aa.
por =
a) Si envian 35 unidades del trazador tarda 2 días llegar, de cuántas
se y este en
unidades dispone el análisis? R/33,3 unidades.
se para
b) Si necesitan 49 unidades la prueba, cuántas unidades deben enviar?
se para se
R/51,5 unidades.
16. En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió la
a
población mundial de ballena azul contra los barcos balleneros. En 1978
se pens-
aba la población el hemisferio de 5000. Ahora sin depredadores
que en sur era y con
abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponen-
cialmente de acuerdo la fórmula Nt) 5000e, la está dado
con t
= en que en
anos.
a) Pronostique la población el ano 2000. R/14861 ballenas.
en
b) Pronostique la población el año 2007. R/19539 ballenas.
en
c) Siguiendo el modelo creado asumiendo 0% de natalidad 1978 año
y que y como
cuándo duplicará la cantidad de ballenas azules? R/15
cero. años
se aprox.
17. La longitud (en centimetros) de muchos peces comerciales de t años de edad se
puede aproximar bien mediante la función de crecimiento de Von Bertalandffy;
f) all be), la que byk constantes.
= en a, son
-
a) Para el hipogloso del pacífco, a=200, b=0956 k=0.18. Calcule la longitud de
y
hipogloso túpico de 10 años. R/I68
un cm.
b) jComo interpreta la la förmula?
se constante «a> en
18. Unilizando la fórmula de la escala Richter R== log(), detemine la magnitud de
un
Sismo cuya intensidad es:
a) 100 veces l R/grado 2.
b) 10000 Ig.
veces R/grado 4.
c)100 000 veces lo. R/grado 5.
d) Los terremotos de magnitud registrados han estado 7 9 la escala
mayor entre y en
de Richter. Calcule las intensidades corespondientes términos de lo. R/10
en
000 000 veces loy 1 000 000 000 lp.
veces
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y
19. La intensidad del sonido percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una
que
fórmula para hallar el nivel de intensidad decibeles, corresponde intensi-
a, en que a
dad de sonido I 10logl) donde ly valor especial de l corresponde
es: a = es un que
al sonido más débil puede detectado el oído bajo ciertas condiciones.
que ser por
Encuentre a en los casos siguientes:
a) les 10 R/10.
veces más grande que lo.
b) Ies 1 000 más grande R/30.
veces que lo.
c) Ies 1000 más grande lo. (este el nivel de intensidad promedio de
veces que es
la voz). RI40.
d) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor odo
en un
humano común. Cuántas aproximadamente, debe I más grande
veces, ser para
alcance este nivel ? R/104
que a veces más grande.
20. Los químicos número denotado pH decribir cuantitativamente la acidez
usan un para
la bisicidad de ciertas soluciones. Por definición, płH -log[H| donde |H*|es
o =
la concentración de iones hidrógenos moles litros. Aproxime el pH de las
en por
siguientes soluciones dados correspondientes H*|:
sus
)Vinagre: [H|=6,3.10- RI2.
b) Zanahoria: [H|=1,0.10-5 R5.
)Agua de mar: H|=5,0.10 R8.3.
21. Aproxime la concentración de iones hidrógenos |HT|en cada de las siguientes
una
sustancias:
a) Manzana: pH=3.0 R/H=10
10-42
b) Cerveza: pH=4,2 RIH=
c) Leche: pH=66 RIH=10-
22. El número de bacterias hay cierto cultivo el tiempo estádado (Q{t)
que en en t por =
2-3, en donde t se mide en horas y Qt) en miles.
a)Cuál número inicial de bacterias?
es el R2 mil.
b) Cuál el número después de 10 minutos? R/2,4 mil.
es
cDespués de 30 minutos? R/346 mil.
d) Despúés de 1 hora? R/6 mil.
23. Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas
más débiles (con fiujo luminoso Lo) se les asigna magnitud 6. A las estrellas más
brillantes se le asigna magnitud conforme la fórmula: 6-2,5-logl),
a m = en
donde Les el fujo luminoso de la estrella.
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a) Determinemsi L 104 L. R/m-5.
=
b) Resuelva la fórmula evaluar L ténninos de de La. RIL 105 L.
para en m y =
24. Si detuviera de la contaminación del Lago Erie, ha estimado el
se repente se que
nivel de contaminantes decrecería de acuerdo la fórmulay e, la
con = en
el nivel de contaminantes cuando dejo de contaminar.
que t esta en años
y yo es se
Cuántos años tomará eliminar el S0 % de los contaminantes? R/1,8 años.
25. En grande la lluvia ácida ha depositado estroncio radiactivo Sr. Si
un campo a
través de la cadena alimentaria llegan al humano cantidades suficientes de
ser este
elemento, el resultado puede cáner los huesos. Se ha encontrado el nivel
ser en que
de radiactividad el 2.5 el nivel de seguridad. El s"Sr decrece
en campo es veces
conforme la fómula A(t) Ape-uus, la Ag la cantidad actual el
a = en que es en
campo, t es el tiempo en años. En este caso tome Ag=0,25. Durante cuántos años
estará contaminado dicho campo? R/38 añios
aprox.
26. Si 10 (g) de sal añaden cierta cantidad de la cantidad q()
gramos se a agua, que no
disuelve después de minutos está dada por qlt) 10 (. Trace gráfica
se t
= una
el valor de q(t) cualquier desde t=0 hasta t=10.
que muestre en momento
27. Haciendo de la fórmula del interés
uso compuesto:
n
Suponga invirtió Sl 000 de interés del 9 % mensual.
que se a una tasa compuesto
a) Calcular el monto final del capital inicial después de 5 años, después de 10 añios
después de 15 años. R/$1 565,68; S2 451,36 $3 838,04.
y y
b) Grafique el crecimiento de la inversión.
28. Si $1 000 invierten al 12% anual capitalizan los intereses mensualmente,
se y se
a)cuál el monto acumulado después de 1 mes? R/1010.
es
b)2 meses? R/1020,1.
có meses? R/1061,52.
d) il año? R/1126,83.
29. Si cierta de automóvil C dólares, valor comercial v(t) al
marca se compra por su
final de t años está dado v(t) 0,78-C-0, 85-1. Si el original de $10
por = costo es
000, calcule, redondeando unidades, el valor después de:
a
a) 1 año. R/S7800.
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b) 4 años. R/S4790.
R/$2942
C) T años.
30. De acuerdo la ley del enfriamiento de Newton, objeto enfría forma
con un se en
directamente proporcional la diferencia de el objeto el medio
a temperatura entre y
lo rodea. Si cierto objeto de 125° 100° 30 minutos, cuando
que pasa a en se encuentra
rodeado aire tiene de 75, puede
por que una temperatura entonces mostrarse que su
t horas está dada por 50-2+
temperatura ft) después de f) 75. Si t=0
=
corresponde la I aproxime la las
a pm, temperatura a
a) 2 R/87,5.
pm.
b) 3 R/78,13.
pm.
c) 4 pm. RI75.78
d) Trace la gráfica de f desde t=0 hasta t=5.
31. El isótopo radiactivo Bi tiene semivida (o vida media) de 5 días, decir,
una es
el número de partículas radiactivas reducirá la mitad del número original 5
se a en
días. Si existen 100g de 2 Bi el instante t=0, la cantidad f(t)
en entonces restante
después de t dias está dada f(t) 100 25.
por =
a) :Qué cantidad resta después de 5 dias? R/50g
b)10 dias? R/25g.
C)125 días? R/17,7g
d) Trace la gráfica de f desde t=0 hasta t=
32. En ciertas condiciones, la presión atmosférica P, pulgadas la altura de h pies
en a
está dada P 29. Ah Cuál la presión altura de 40 000 pies?
por = es a una
R/7,44 pulg
33. La cantidad inicial del isótopo del polonio Po de 50mg. La cantidad
es restante a
los t días puede aproximada A 50.e Calcule la cantidad
ser por = restante
a los:
a 30 días. R/43,1.
b) 180 días. R/20,51.
c) 365 días. RI8,21.
34. Si el valor de los bienes raíces incrementa razón del 10%
se a por año, entonces,
después de t años, el valor V de comprada P dólares está dada
una casa en por
V(t) P:1,1. Si una casa fue comprada en $80 000 1986,
= en
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y
)cual serå su l1990? R/S117128.
precio en
b)y en el año 2000? R/$303 800.
)y en el año 2006? R/$538 200.
35. Si S1 00 invierten el 6 % anual el interés capitaliza trimestralmente,
se y se encuen-
tre el capital al final de:
a) 1 año. R/$1061,36.
b) 2 años. RSI126,49.
c) anos. R/$1346,86.
d) 10 años. R/$1418,02.
36. Si $1 000 invierten el 6% anual el interés capitaliza mensualmente,
se y se encuentre
el capital al final de:
a) I año. R/S1061,68.
b) 2 años R/S1127,16.
c) años. R/$1348,85.
d) 10 años. R/SI819,40.
37. Si $10 00 invierten al 9% anual capitalizado semestralmente, el tiem-
se encuentre
requerido el capital exceda a
po para que
a) $15 000. R/$5 años (4,61).
b) $20 000. RS8 años (7.87)
c)$30 000. R/S12,5 años (12,48).
38. Un niño deposita S500 de ahorros que interés de 6%
en una cuenta paga a una tasa
compuesto anual capitalizado semanalmente. Cuánto tiene la después de
en cuenta
ano? RS530,90.
un
39. Calcule el valor futuro de $100 000 al 32 % anual. R/$132 000.
a un año;
40. Calcule el valor futuro de $100 000 al 32 % anual capitalizable trimestral-
a un año;
R/$136
mente.
048,90
41. Hallar el valor futuro de $400 000 al 7% capitalizable semestralmente 70
en años.
RIS48 397 954,1.
42. Cuál el valor acumulado $300 000 al 12% durante 3 mediante el interés
es por años,
Compuesto? R/$421 478,40.
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y 9
43. Cuál la de interés efectiva anual, si depositando hoy $2 500, pueden retirar
es tasa se
$40 000 dentro de 15 años? R/20,30.
44. Si el número promedio de (en todo el mundo)
n es terremotos en un año, cuya mag-
nitud está entre R R+1 (en la escala Richter), log n=7,7-0,9R.
y entonces
101-0,92
a) Resuclva evaluar términos de R. R/n =
para n en
b) Calcule si R=4; R=5 R=6. R/12 589; 1585 200.
n y y
45. La energía E (en ergs) liberada durante de magnitud R está dada la
un terremoto por
fónula log E =1,4+ 1,5 R.
R/R=-4
a) Despeje E téminos deR.
en
15
b) Calcule la energía liberada durante el famoso terremoto de Alaska de 1964,
que
registró 8,4 la escala Richter. R/E 104
en =
46. El isótopo radiactivo 2Bi desintegra conforme la ley Q(t) k .25, la
se a = en
está días. Use logaritmo de base 2 evaluar t términos de Qy de k.
que t en para en
Rt=-ölog
47. El número N de bacterias cierto cultivo el tiempo está dado N(t)
en un en t, por =
103. Use logaritmo de base 3 determinar función de N. R/t logsl
para t en =
48. Resuelva la fórmula de crecimiento de Von Bertalanffy =all-be-), para hallar
ten téminos de b k. La fórmula resultante puede emplearse calcular la
y, a, y para
edad de partir de la medición de longitud. RIf=--In
un pez a su
49. La siguiente fórmula, válida los el de Estados Unidos,
que es para terremotos en este
relaciona la magnitud R del sismo el área lo rodea A (en millas cuadradas),
con que
afectada el temblor.
que es por
R=2,3log(A +34000)- 7,5
=10-34000. R+7,5
Resuélvala evaluar A términos de R. R/A
para en
50. La semivida del radio de 1600 decir dada cierta cantidad de radio, la mitad
es años, es
desintegrará 1600 Si la cantidad inicial miligranmos puede
se en años. es (mg),
go
mostrarse la cantidad qlt) después de está dada qít)
que constante t años por =
o2". Despeje la variable k. R/k=log
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Bibliografía
Araya R, Leonardo. Apuntes para el Curso de Biomatemáticas.
[2] Fernández, Flory Roberto Solé. Matemáticas Financieras: técnicas 200 ejercicios
y notas y propuestos.
B Swokowski W, Earl. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica.
4] Valverde F, Luis. Elementos de Cálculo con Aplicaciones.